Задачи, связанные с взаимным расположением прямых

Разглядим некие задачки аналитической геометрии, которые связаны с обоюдным расположением прямых в пространстве.

Задачка 2. Отыскать угол меж пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом меж 2-мя скрещивающимися прямыми и именуется угол меж прямой и проекцией прямой на всякую плоскость, проходящую через прямую .

По другому говоря, угол меж скрещивающимися прямыми Задачи, связанные с взаимным расположением прямых – это угол меж 2-мя пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Пусть даны две пересекающиеся либо скрещивающиеся прямые:

: и : .

Обозначим , – направляющие векторы первой и 2-ой прямой соответственно.

Потому что один из углов меж прямыми равен углу меж их направляющими векторами, а 2-ой угол , то углы и могут быть найдены по формуле

,

либо ,

где символ плюс берется Задачи, связанные с взаимным расположением прямых в этом случае, когда нужно отыскать величину острого угла, а символ минус – когда нужно отыскать величину тупого угла.

Задачка 3. Отыскать расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть дана ровная

:

и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до Задачи, связанные с взаимным расположением прямых .

Разглядим параллелограмм, построенный на векторах и . Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из верхушки . Как следует,

.

ПРИМЕР. Отыскать расстояние от точки до прямой : .

Из условия задачки имеем: , . Тогда

,

,

, ,

– разыскиваемое расстояние.

Задачка 4. Отыскать расстояние меж скрещивающимися прямыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием меж 2-мя скрещивающимися прямыми именуется длина их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые

: и : ,

и Задачи, связанные с взаимным расположением прямых – расстояние меж и .

Построим плоскость , проходящую через прямую параллельно . Тогда – расстояние от прямой до плоскости . Отыскать это расстояние можно по формуле:

,

где – общее уравнение плоскости ,

– неважно какая точка на прямой .

ПРИМЕР. Отыскать расстояние меж 2-мя прямыми

: и : .

1) Сначала, установим обоюдное размещение данных прямых. По условию задачки: и – направляющий вектор и Задачи, связанные с взаимным расположением прямых фиксированная точка первой прямой, и – направляющий вектор и фиксированная точка 2-ой прямой; . Имеем:

1) ∦ – прямые не параллельны;

2) вычислим :

.

Как следует, данные прямые являются скрещивающимися.

2) Запишем уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно :

: .

Тогда – расстояние от точки до плоскости :

.

Замечание. Предложенный метод нахождения расстояния меж скрещивающимися прямыми – не единственный. Можно отыскать это расстояние Задачи, связанные с взаимным расположением прямых, используя векторную алгебру.


Вправду, построим на векторах , и пирамиду.

Тогда – высота пирамиды, опущенная из точки и, как следует,

Задачка 5. Отыскать точку скрещения прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые

: и : ,

– точка скрещения прямых. Тогда – решение системы уравнений

либо, переходя к параметрическим уравнениям прямой,

ПРИМЕР. Отыскать точку скрещения прямых

: и : .

1) Прямые и Задачи, связанные с взаимным расположением прямых не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для их производится условие (9):

.

Как следует, прямые и – пересекаются.

2) Найдем точку скрещения прямых. Для этого перейдем к их параметрическим уравнениям:

: и :

и решим систему

, ;

, , .

Таким макаром, точкой скрещения прямых является точка

5. Обоюдное размещение прямой и плоскости
в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость и Задачи, связанные с взаимным расположением прямых ровная . Они могут быть 1) параллельны;

2) ровная может лежать в плоскости;

3) ровная и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Выясним, как зная уравнения плоскости и прямой, найти их обоюдное размещение.

Пусть : и : .

Тогда – обычный вектор плоскости,


– направляющий вектор прямой.

Если плоскость и ровная параллельны либо ровная полностью лежит в плоскости Задачи, связанные с взаимным расположением прямых , то векторы и – перпендикулярны. Как следует , (10)

либо в координатной форме

. (11)

Если условие (10) (условие (11)) не производится, то геометрически это значит, что ровная и плоскость пересекаются в одной точке.

Личным случаем скрещения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости. В данном случае и будут параллельны, что аналитически Задачи, связанные с взаимным расположением прямых значит справедливость равенства

.

Сейчас укажем условие, которое позволит различать случай параллельности прямой и плоскости и случай, когда ровная принадлежит плоскости. Пусть ровная лежит в плоскости . Тогда неважно какая точка прямой лежит в плоскости и, как следует, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. А именно,

,

где – некая фиксированная точка прямой . Если же ровная Задачи, связанные с взаимным расположением прямых параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, как следует, для таковой прямой

.

Таким макаром, если ровная лежит в плоскости, то должны производиться два условия:

и ;

если же ровная параллельна плоскости, то

, но ,

где – некая фиксированная точка прямой .

В заключение этого пт вернемся к случаю, когда ровная и Задачи, связанные с взаимным расположением прямых плоскость пересекаются в одной точке, и получим формулу для нахождения угла меж прямой и плоскостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом меж прямой и плоскостью именуется угол меж прямой и ее проекцией на плоскость .

Из определения следует, что угол меж прямой и плоскостью не превосходит , т.е. угол острый.

Пусть – угол Задачи, связанные с взаимным расположением прямых меж прямой и плоскостью , – их точка скрещения.

Через перпендикулярно плоскости проведем прямую . Для вектор является направляющим и, как следует, острый угол меж прямыми и может быть найден по формуле

.

Но ,

– формула для определения угла меж прямой и плоскостью .


zadanie-1-izuchite-teoreticheskij-material.html
zadanie-1-kalkulirovanie-polnoj-sebestoimosti-produkcii.html
zadanie-1-konfliktologiya-uchebnoe-posobie.html